✎☛ Raisonnement par l'absurde

Méthode

On veut démontrer une propriété.
Effectuer un raisonnement par l'absurde, c'est supposer que cette propriété est fausse et aboutir à une contradiction.

Énoncé

Démontrer par l'absurde que  $\sqrt{2}$  est un nombre irrationnel.

Solution

On suppose que ce nombre est rationnel, c'est-à-dire qu'il existe deux entiers naturels non nuls $a$ et $b$  n'ayant aucun diviseur commun autre que $1$ , tels que $\sqrt{2}={\displaystyle \frac{a}{b}}$ .
On a  $a=b\sqrt{2}$  puis  $a^2=2b$ , ce qui entraîne que $a^2$ est pair. 

  $a^2$ est pair implique que $a$ est pair. (Pour la démonstration, voir la perle Raisonnement par contraposée.)
Donc il existe un entier naturel  $k$ tel que $a=2k$ .
D'où $a^2=4k^2$ .
Et l'égalité $a^2=2b$ devient $4k^2=2b$ , ce qui se simplifie en $2k^2=b$ . Donc $b$ est pair.

Donc $a$ et $b$ sont tous les deux pairs. Ils sont divisibles par $2$ .
On aboutit à une contradiction puisque   $a$ et $b$   sont supposés  n'avoir aucun diviseur commun autre que $1$ .
Conclusion :  $\sqrt{2}$   est un nombre irrationnel.

Méthode

On veut démontrer une propriété qui est une implication P ⇒  Q.
E ffectuer un raisonnement par l'absurde, c'est supposer que P est vraie et que Q est fausse et aboutir à une contradiction, ce qui entraîne que Q est vraie. (En effet, P vraie et Q fausse est le seul cas où l'implication P ⇒ Q est fausse.)

Énoncé 1

Soit $x$ et $y$ deux réels. Démontrer par l'absurde l'implication suivante : « Si $x^2+y^2=0$ , alors $x=y=0$ . »

Solution

Supposons que $x\ne 0$  ou  $y\ne 0$ . Alors $x^2+y^2$ étant une somme de deux quantités positives dont l'une est non nulle, elle est elle-même non nulle, ce qui est contradictoire avec l'hypothèse  $x^2+y^2=0$ .

Énoncé 2

Soit $x$ et $y$ deux nombres réels tels que $x$ soit rationnel et  $y$ soit irrationnel. Démontrer, par l'absurde, que $x+y$ est irrationnel.

Solution

On suppose que $x+y$ est  rationnel. On appelle $z=x+y$ ce nombre.
Comme $y=z-x$ est une différence de deux nombres rationnels, il est lui-même rationnel, ce qui est contradictoire avec le fait qu'il soit supposé irrationnel.